TENSIOMETRE A GOUTTE

A - PRINCIPE DE L’APPAREIL



1 - Banc d’optique, 2 - Source lumineuse, 3 - Cellule de mesure Thermostatée et/ou pressurisée, 4 - Pousse seringue, 5 - Optique et caméra, 6 - Ordinateur, 7 - Ecran de contrôle.

Une goutte (de liquide ou de gaz) est formée automatiquement à l’extrémité de l’aiguille d’une seringue dans une cuvette contenant un autre liquide.

La goutte est éclairée par une source lumineuse uniforme , de type sphère intégrante, l’image de son profil est projetée par un objectif télécentrique sur une caméra CCD (512x512 pixels) et est numérisée et ensuite traitée par logiciel pour déterminer plusieurs fois par seconde la tension interfaciale, la surface et le volume de la goutte.

Dans le cas des bitumes, La goutte est formée à l’extrémité de l’aiguille d’un diamètre de 1 mm, dans une cuvette contenant 50 ml de phase aqueuse.

Une pression de 0 à 12 bars peut être appliquée, la température pouvant être réglée de la température ambiante à

200 °C.

B - Principe du calcul

1) L’équation de Laplace Young

La tension interfaciale entre deux milieux liquide-liquide ou liquide-gaz peut être calculée à partir de l'étude du contour d'une goutte présentant une symétrie de révolution. La forme de la goutte est déterminée par la combinaison de la tension interfaciale et des effets de la gravitation. Les effets de la tension interfaciale force la goutte à prendre une forme sphérique tandis que les effets de la gravitation ont tendance à l'allonger pour lui donner une forme en poire dans le cas d'une goutte pendante et à l'aplatir dans le cas d'une goutte posée. Lorsque l'importance de ces effets sont du même ordre on peut déterminer la forme du contour apparent et aussi les angles de contact entre la goutte et son support.

Figure 1

Le traitement s'appuie sur les deux équations fondamentales:

• l'équation de Laplace -Young qui traduit que la différence de pression causée par la courbure de la surface est proportionnelle à la courbure moyenne, le coefficient de proportionnalité étant justement la tension interfaciale:

  

  équation qui résulte d'un équilibre thermodynamique.

• la deuxième équation résulte de l'écriture d'un équilibre des forces au travers de tout plan horizontal:

  

  où
  p est la pression due à la courbure
  g la tension interfaciale
  R et R' les rayons de courbures principaux de la surface
  x l'abscisse du point de la méridienne d'ordonnée z
  q l'angle entre la normale et l'axe de révolution
  V le volume du fluide sous le plan
  rh et rl les masses volumiques respectives des deux fluides
  g l'accélération terrestre.

On se placera désormais dans un plan méridien et on appellera "profil" de la goutte la courbe méridienne. On utilisera un repère d'origine l'apex d'axe des x la tangente au profil à l'apex et d'axe des z l'axe de révolution (voir dessin). On désignera par b la courbure à l'apex.
En remarquant que
i) la différence de pression entre l'apex et le plan d'ordonnée z n'est due qu'à la poussée d'Archimède exercée sur le bas de la goutte
ii) à l'apex les rayons de courbure sont tous égaux à 1/b
iii) le rayon R' vaut
on peut à partir des deux formulations précédentes déduire les formules du paragraphe ci-après.

Par nature l’équation de Laplace-Young ne prend en compte que deux phases et par conséquent la nature matérielle du support solide, sur laquelle repose ou est attachée la goutte, n’est pas prise en compte dans le traitement théorique. Pour une discussion sur l’influence du support solide voir l’article.

Dans on a avec est l’excès de pression à l’apex donc car les rayons de courbure à l’apex sont égaux dans toutes les directions, et (rayon de courbure dans le plan méridien) et (rayon de courbure dans le plan perpendiculaire).

D’où l’équation en posant

La constante de capillarité on a où on utilise le classique résultat de géométrie différentielle des courbes .

On obtient donc la première version de l’équation de laplace

Si on l’écrit et si on intègre en x entre 0 et x il vient

or à l’évidence par changement de variable et d’autre part en faisant une intégration par parties on a où on reconnaît le calcul du volume car .

De tout cela on tire et ceci étant valide en tout x du contour on peut écrire cette formule pour toutune série de mesures . On mesure pour chaque valeur de z_i sur le profil les valurs de x_i de q_i et par intégration numérique de V(z_i). On a donc un garnd nombre d’équations (2 suffiraient sur le plan mathématique d’où la méthode des deux diamètres) mais les calculs de q sont très bruités. On fait donc une régression linéaire pour calculer les inconnues A et B et l’on remonte à la courbure à l’apex et à g.

Forme mathématique des deux équations.

Dans un repère qui a pour origine l’apex de la goutte et dont l’axe Oz est l’axe de symétrie vertical de la goutte supposée de révolution autour de cet axe.

Paramètres:

s: est l’abscisse curviligne (en mm) du point M de coordonnées [x(s),z(s)]

q:est l’angle polaire de la tangente orientée en M(s) avec l’axe Ox.

b: est la courbure à l’apex en mm^-1

c: est la constante de capillarité en mm^-2 où g est la tension interfaciale en mN/m, g l’accélération terrestre en m/s² et Dr la différence de masse volumique entre les deux fluides en kg/l=g/cm³. c est >0 pour une goutte pendante ou montante et c est négatif pour une goutte posée.

La représentation normale du contour à l’aide de l’abscisse curviligne et dans le repère choisi donne le système différentiel suivant

avec pour conditions initiales

et

Ces équations ont un développement de Taylor en 0 (c’est à dire à l’apex) qui vaut

La deuxième équation d'équilibre conduit à une autre formulation en tenant compte que , on obtient après un calcul d'intégration par parties:

où

Facteur de forme

Le choix du rayon de courbure 1/b comme unité permet de voir que la forme d’une goutte dépend exclusivement du paramètre de forme qui est sans dimension et que l’on appellera dans la suite le facteur de forme ou nombre de Bond. D'ailleurs en posant X=bx,Z=bz et S=bs , nombres sans dimension le système de Laplace devient

avec les conditions initiales et

Le signe de w est celui de Dr. Il sera positif pour une goutte pendante ou montante et négatif pour une goutte posée.

Les deux paramètres caractéristiques d’une goutte sont donc le facteur de forme w et le rayon de courbure à l’apex 1/b.

Il est important de souligner que le principe du tensiomètre à goutte est fondé sur l’estimation de seulement deux paramètres physiques w (facteur de forme) ou c (constante de capillarité) d’une part et b (la courbure à l’apex).

Signification physique du facteur de forme :

Au choix des axes près (origine à l’apex et unité de longueur égale au rayon de courbure à l’apex), à chaque nombre w est associée une forme (profil, contour...) comme indiqué sur la figure 2.

Figure 2

Par exemple la même forme peut être associée à des interfaces séparant deux fluides de natures physico-chimiques totalement différentes

Première estimation des paramètres : méthode des deux diamètres revisitée

L’équation [E₂] permet de prendre en compte tous les points du contour en estimant par une méthode de moindre carrés les paramètres c et b

On passe de l’équation

On va partir de l'idée que en chaque point du contour de hauteur z on a la liaison suivante où . Le calcul de la surface conduit aussi à . On peut donc estimer pour tout z entre 0 et z_max l'abscisse x de chaque point puis le Volume V(z) et la surface S(z) par intégration numérique par la méthode des trapèzes, puis la valeur de la dérivée au point après avoir lissé le profil par une méthode de spline d'approximation (pour tenir compte du bruit sur le contour)
On procède ensuite à une méthode de moindre carrés (totale) pour estimer c et b à l'aide des équations obtenues.

Cette méthode s'appellera la méthode des "deux diamètres revisitée" [DDR]

Deuxième estimation des paramètres par optimisation

On retient donc qu’une solution de l’équation de Laplace est une courbe du plan qui dépend de 5 paramètres

• Les deux constantes physiques b et c

• L’origine du repère ie les coordonnées de l’apex (a,b)

• L'inclinaison de l’axe Oz par rapport à la vertical vraie (ie celle fournie par g) notée y

On notera dans un repère quelconque (par exemple celui de l’écran) d’un plan vertical une courbe Laplacienne par L(a,b,y,b,c)

On admettra que l’on peut dans un premier temps supposé que y=0 par un réglage soigneux de la verticalité de l’appareil et du CCD.si bien qu’une courbe Laplacienne est fournie par L(a,b,b,c)

Ecart entre un profil expérimental et un profil théorique

Supposons donnés une liste de points expérimentaux E_i de coordonnées (X_i,Z_i) dans le repère écran.

Figure 3

Tout point expérimental E_i est projeté orthogonalement sur la courbe L(a,b,b,c) en un point P_i repéré sur la courbe par son abscisse curviligne s_i que l’on calcule par minimisation de la fonction carré de la distance ie

La distance entre la courbe L(a,b,b,c) et les points expérimentaux est prise au sens quadratique et fournie la fonction objective

.

On cherche donc à minimiser cette fonction pour déterminer les meilleures valeurs des quatre paramètres donc la meilleure courbe L(a,b,b,c) d’approximation des points expérimentaux.

Ces méthodes étant itératives il est nécessaire de les initialiser c’est à dire de fournir une première estimation des quatre paramètres.

(a,b) sont estimés par une méthode moindre carrés qui ajuste la goutte autour de l’apex à une équation de la forme

z=b + m(x-a)²+n(x-a)⁴ où a est calculé en cherchant par une méthode de moindre carrés sur tout le contour, l’axe de symétrie de la goutte .

Ensuite on estime les paramètres b et c par la méthode [DDR].

On fait appel pour la minimisation à une méthode Newton.

Le logiciel retourne outre a,b,b,c et L(a,b,b,c) optimisée, la liste des valeurs qui représente la valeur standard des erreurs signées commise dans l’approximation des points expérimentaux par le meilleur profil théorique. Ce nuage doit être Gaussien pour avoir un premier critère de "Laplaciannité" de la goutte. On en profite pour retourner le volume et la surface calculés théoriquement.

Cette méthode permet en outre pour une goutte posée, et par une connaissance a priori du volume de la goutte, de recalculer la position précise de séparation entre le support et la goutte et donc de fournir une valeur des angles de contact.

2. Extraction du contour

L'alignement optique, l'uniformité de la source lumineuse et la non déformation de l'image par l'optique de reprise et le CCD sont importantes dans la précision des résultats mesurés. Pour obtenir une précision sur g inférieure à 1% il faut prévoir une correction des facteurs de distorsion et de non uniformité par un calibrage non linéaire de la fonction de transfert du système opto-électronique.

Si e_i désigne l’écart signé entre la position expérimentale du point M_i de la goutte et sa position calculée sur le contour de Laplace (écart mesuré orthogonalement à la surface de la goutte) on a les formules :

On peut admettre que est essentiellement négligeable car b est de l’ordre du mm et l’erreur commise inférieure à 5m.

• Si Dr est bien maîtrisé et grand (Ex : interface eau-air) alors l’erreur relative sur g est sensiblement égale à celle sur w.
• Si Dr est petit ou mal maîtrisé l’erreur relative sur Dr s’y ajoute. Il y a donc nécessité à maîtriser la température et le calcul des densités.

L’estimation de résulte du calcul numérique (cf 2.5) et de la résolution spatiale du système. Le pouvoir séparateur du système est de l’ordre de grandeur de 1 à 5 m, ce qui a pour conséquence une meilleure séparabilité des formes pour les facteurs de forme élevés et une non séparabilité pour les facteurs de formes trop faibles.

Typiquement pour un rayon de courbure de 1mm les courbes 1 et 2 ont un écart horizontal de 0 à 30m alors que les courbes 9 et 10 ont un écart compris entre 0 et 500m.

Eviter les gouttes dont la hauteur est inférieure au rayon de courbure et lorsque cela est possible il faut maximiser le facteur de forme en jouant sur Dr et 1/b [en particulier en augmentant la taille de la goutte par un choix judicieux du capillaire].

Avec un contour de 200 points bruité par un bruit gaussien d’écart type allant de 0.001 mm à 0.021mm othogonal à la courbe on induit une erreur relative sur le nombre de Bond w et sur la constante de capillarité fournie dans le tableau suivant. Pour chaque bruit 10 profils ont été créés et l'erreur relative fournie est l'erreur relative standard.

Les lentilles utilisées ont une déformation radiale du type suivant où r est un paramètre fourni par le constructeur de lentille. Il est indispensable de déterminer le centre optique o sans quoi l'impact de la distorsion optique conduit à des résultats erronés. Vu le grossissement usuel de l'appareil le paramètre r vaut typiquement 0.005

1. Erreurs dues à un mauvais réglage de la verticalité